Часть III / Лекция 17. Топология фигур в пространстве

Топология

Слово «топология» произошло от греческого topos — «место». Топология — это раздел математики, изучающий топологические свойства фигур, то есть свойства, не изменяющиеся при любых деформациях, производимых без разрывов и склеиваний (точнее, при взаимно однозначных и непрерывных отображениях). Иными словами, при сгибании, скручивании, сжимании, растягивании и вообще любых деформациях, кроме разрывов и склеиваний, все свойства фигуры сохраняются (с точки зрения топологии). К топологическим свойствам фигур относятся также размерность, число кривых, ограничивающих данную область (контуры — связность), и некоторые другие.

На прошлой лекции мы познакомились с формулой Эйлера, которая имеет вид: Г + В = Р + 2 (Г — число граней, В — число вершин, Р — число ребер). Но оказывается, что эта формула имеет более общий вид, если принять во внимание такую характеристику, как связность. Связность h есть количество разрезов + 1. Таким образом, формула Эйлера принимает следующий вид:
Г + В - Р = 3 - h, где
В — число вершин,
Р — число ребер,
Г — число граней,
h — связность.

Согласно формуле, приведенной выше, очевидно, что окружность, эллипс, контур квадрата имеют одни и те же топологические свойства, так как эти линии могут быть деформированы одна в другую без разрывов и склеиваний. В то же время кольцо и круг обладают различными топологическими свойствами: круг ограничен одним контуром, а кольцо — двумя.

Чтобы деформировать одну фигуру в другую, обладающую разными свойствами, придется делать разрезы. Между разрезами и связностью существует следующее соотношение: h = p + 1, где р — количество разрезов. Например, с помощью двух разрезов тор превращается в лист, поэтому связность тора h = 2 + 1 = 3.

Некоторые свойства различных фигур приведены в таблице.

Фигура	связность h число сторон s хроматическое число x число краев k	Рисунок
Тор — лист с циклами	h = 3 s = 2 x = 7 k = 0
Плоский лист	h = 1 s = 2 x = 4 k = 1
Лента Мебиуса	h = 2 s = 1 x = 6 k = 1
Бутылка Клейна (существует только в 4D)	h = 3 s = 1 k = 0
Сфера	h = 1 s = 2 x = 4 k = 0