Часть III / Лекция 17. Топология фигур в пространстве
Топология
Слово «топология» произошло от греческого topos «место».
Топология это раздел математики, изучающий топологические свойства
фигур, то есть свойства, не изменяющиеся при любых деформациях, производимых
без разрывов и склеиваний (точнее, при взаимно однозначных и непрерывных
отображениях). Иными словами, при сгибании, скручивании, сжимании, растягивании
и вообще любых деформациях, кроме разрывов и склеиваний, все свойства фигуры
сохраняются (с точки зрения топологии).
К топологическим свойствам фигур относятся также размерность,
число кривых, ограничивающих данную область (контуры связность), и
некоторые другие.
На прошлой лекции мы познакомились с формулой Эйлера, которая имеет вид:
Г + В = Р + 2 (Г число граней, В число вершин, Р число
ребер). Но оказывается, что эта формула имеет более общий вид, если принять во
внимание такую характеристику, как связность. Связность h есть
количество разрезов + 1. Таким образом, формула Эйлера принимает следующий вид: Г + В - Р = 3 - h, где В число вершин, Р число ребер, Г число граней, h связность.
Согласно формуле, приведенной выше, очевидно, что окружность, эллипс, контур
квадрата имеют одни и те же топологические свойства, так как эти линии могут
быть деформированы одна в другую без разрывов и склеиваний. В то же время
кольцо и круг обладают различными топологическими свойствами: круг ограничен
одним контуром, а кольцо двумя.
Чтобы деформировать одну фигуру в другую, обладающую разными свойствами,
придется делать разрезы. Между разрезами и связностью существует следующее
соотношение: h = p + 1, где р количество разрезов.
Например, с помощью двух разрезов тор превращается в лист, поэтому связность
тора h = 2 + 1 = 3.
Некоторые свойства различных фигур приведены в таблице.
Фигура |
связность h число сторон s хроматическое число x число краев k |
Рисунок |
Тор лист с циклами |
h = 3 s = 2 x = 7 k = 0 |
|
Плоский лист |
h = 1 s = 2 x = 4 k = 1 |
|
Лента Мебиуса |
h = 2 s = 1 x = 6 k = 1 |
|
Бутылка Клейна (существует только в 4D) |
h = 3 s = 1 k = 0 |
|
Сфера |
h = 1 s = 2 x = 4 k = 0 |
|
|