Часть III / Лекция 19. Заполненность пространства

Многогранником называется сплошное тело, у которого плоские ограничивающие грани являются полигонами. Если все стороны полигона имеют одинаковую длину, а все внутренние углы равны между собой, то такой полигон называется правильным. Многогранник называется правильным, если его полигоны правильны. Существует всего пять правильных многоугольников, называемых платоновыми телами.

Платоновы тела

Платоново тело есть тело наименьшей поверхности при заданном объеме, состоящее из одинаковых фигур (простейших). Правильный многоугольник ограничивает собой объем больший, чем любое тело с тем же числом граней.

Пара цифр, записанная в скобках через запятую рядом с названием каждой фигуры, называется «символом Шлефли», трактуются эти цифры так:
(<число вершин одной грани фигуры>, <число сходящихся в одной вершине граней>).

Тетраэдр (3, 3)	Куб (4, 3)	Октаэдр (3, 4)
Икосаэдр (3, 5)	Додекаэдр (5, 3)

Внимательный читатель, наверное, уже заметил, что существуют две пары фигур, имеющих в символе Шлефли две одинаковые цифры, которые различаются только порядком следования. Вот эти пары: «куб»-«октаэдр» и «икосаэдр»-«додекаэдр». Они обладают интересным свойством: вершины одной парной фигуры размещаются точно в серединах граней другой парной фигуры.

«А что же тетраэдр? Разве он не имеет парной фигуры?» — спросит читатель. Оказывается, в трехмерном пространстве тетраэдр является симплексом (простейшей фигурой) и обращается сам в себя, то есть парой тетраэдру будет он сам.

На плоскости существует только три правильных многоугольника, которые дают укладку без разрывов (100% укладку) — это квадрат, равносторонний треугольник и шестиугольник. Другие правильные многоугольники не дают 100% укладки. Обратите внимание: 100% укладку можно получить и с использованием неправильных многоугольников.

Решетка (4, 4)	Мозайка (3, 6)	Соты (6, 3)