Часть III / Лекция 18. Искривленность пространстваКривизна это величина, характеризующая отклонение кривой (поверхности) в окрестности данной ее точки от касательной прямой (касательной плоскости). Понятие кривизны распространяется также и на объекты более общей природы. Например, в римановой геометрии (см. ниже) кривизна представляет собой меру отклонения так называемых римановых пространств от евклидовых. Кривизна ГауссаКривизна Гаусса, или искривленность, обозначается K = k1 * k2, где k1 наибольшая главная кривизна, k2 наименьшая главная кривизна, k1 и k2 перпендикулярны друг к другу (см. рис.18.1). Главная кривизна ki = 1/ri. Искривленность К не изменяется при изгибании поверхности, то есть длины и углы кривых на ней остаются неизменными (это значит, что поверхность сделана из абсолютно нерастяжимого материала). Если для некоторого пространства кривизна Гаусса K = 0, то мы имеем дело с пространством Евклида, в котором справедлива геометрия Евклида. При K > 0 мы переходим к пространству и геометрии Римана, которые имеют свои, отличные от Евклидовой геометрии, законы. А при K < 0 мы приходим к геометрии Лобачевского. Как было сказано выше, при K = 0 мы имеем дело с привычной всем геометрией Евклида. Пространством этой геометрии является плоскость, на которой выполняются следующие Евклидовы аксиомы
Сумма углов произвольного треугольника, построенного на евклидовой плоскости (рис. 18.2), равна строго 180о. Рассмотрим теперь геометрию Римана (K > 0). Пространством в этой геометрии является поверхность сферы некоторого радиуса r. Разумеется, на сфере также можно построить треугольник (рис. 18.3), но самое интересное заключается в том, что сумма углов этого треугольника не постоянна и колеблется в пределах от 180o до 270o. Если мы станем непрерывно увеличивать радиус сферы, то стороны треугольника все больше и больше будут спрямляться, углы между его сторонами уменьшаться до некоторой постоянной величины, и при r стремящимся к бесконечности мы придем к геометрии Евклида, в которой, как и полагается, сумма углов треугольника составит 180o! Если же радиус сферы устремить к нулю, углы между любыми двумя сторонами треугольника будут стремиться к 90o и, таким образом, сумма углов треугольника в пределе составит 90o + 90o + 90o = 270o. В римановой геометрии не выполняются аксиомы Евклида. Возьмем, например, следующую аксиому: «ко всякой прямой A через всякую точку B, не лежащую на этой прямой, можно провести одну и только одну прямую, не пересекающую прямую A». В геометрии Римана на сфере ко всякой прямой A через всякую точку B, не лежащую на этой прямой, можно провести БЕСКОНЕЧНО МНОГО прямых, не пересекающих прямую A, что и иллюстрируется рис. 18.4. Нам могут возразить, что «бесконечное число прямых» не параллельно прямой A, но ведь аксиома, приведенная выше, и не требует параллельности, она лишь утверждает, что линии не пересекаются, что мы и имеем в данном случае. Как и в геометрии Римана, в геометрии Лобачевского (K < 0) сумма углов треугольника не постоянна, но теперь она может меняться от 0o до 180o. Если кривизна Гаусса поверхности Лобачевского (рис. 18.5) будет стремиться к нулю, то мы, в конце концов, придем к геометрии Евклида, и сумма углов треугольника составит 180o. Если же кривизна Гаусса будет стремиться к «минус бесконечности», то углы между любыми двумя сторонами треугольника будут становиться все меньше и меньше, и в пределе сумма углов треугольника составит 0o + 0o + 0o = 0o. Итак, рассмотрев геометрии Евклида, Римана, Лобачевского, можно сделать очень важный вывод о том, что все эти геометрии не живут обособлено, а переходят одна в другую (можно сказать, дополняют друг друга) при изменении некоторых условий. Как же измерить кривизну интересующего нас пространства? Рассмотрим один из способов. Выясним кривизну пространства Евклида. Будем проводить окружности с разными радиусами (рис. 18.6, слева) и измерять радиусы и длины каждой полученной окружности, отмечая это на графике (рис. 18.6, справа). При большом числе проведенных окружностей мы получим на графике прямую линию C(R) = 2pR с угловым коэффициентом 2p, а линейной зависимости соответствует кривизна K = 0. Проведем подобный опыт для сферы (рис. 18.7, слева). Сверху вниз (от точки A до точки B) будем проводить горизонтальные сечения сферы и измерять радиус и длину окружности каждого из полученных сечений. В результате этого эксперимента мы обнаружим, что длина i-ой окружности ci зависит от ее радиуса ri нелинейно (рис. 18.7, справа), поэтому мы с уверенностью можем утверждать, что кривизна K на сфере отлична от нуля. |
||
|
|