Часть III / Лекция 14. Геометрическое сглаживание В-сплайнами

Любой более или менее сложный чертеж состоит не только из отрезков прямых линий, окружностей и их дуг, но также и из набора кривых линий. Гладкие кривые удобно строить при помощи метода сглаживания кривой типа В-сплайна. B-сплайн — это гладкая кривая или, точнее, кривая с непрерывными старшими производными до n-ой, где n — порядок сплайна. Заметим, что линия, составленная из В-сплайнов, не будет проходить точно через заданные точки. Подобную кривую составляют из дуг полиномов третьей степени, так как такой полином обеспечивает необходимую непрерывность. Построение линии происходит с помощью итерационной процедуры.

Рассмотрим построение кубического сплайна. Пусть нам даны две соседние точки, через которые проведем кубический полином, но у полинома — 4 коэффициента, следовательно нужно еще два дополнительных условия или точки. Для этого прихватим еще две соседние точки. Чем более плавной мы хотим видеть линию, тем сложнее пройти точно через точки. Если в формуле x = q³, то достаточно плавности 3.

Гладкость диктуется физическими задачами, и здесь часто приходится искать компромисс между гладкостью и точностью. Например, гидродинамика работает с поверхностями, которые описываются уравнениями четвертой степени (такой высокий порядок необходим, чтобы повысить гладкость различного рода физических устройств, рассчитанных с помощью этих уравнений, и таким образом избежать завихрений). Но с повышением порядка (то есть гладкости) сплайна точность уменьшается.

Рассмотрим рис. 14.2. Пусть t — параметр, по которому пробегаем от точки P_i к точке P_i+1. При t = 0 мы находимся в точке P_i, при t = 1 — в точке P_i+1. Если 0 < t < 1, то мы находимся между P_i и P_i+1.

Эта линия в каждой точке имеет систему:

	x(t) = ((a3t + a2)t + a1)t + a0, для 0 <= t <= 1
	y(t) = ((b3t + b2)t + b1)t + b0, для 0 <= t <= 1

a₃ = (-x_i-1 + 3x_i - 3x_i+1 + x_i+2)/6
a₂ = (x_i-1 - 2x_i + x_i+1)/2
a₁ = (-x_i-1 + x_i+1)/2
a₀ = (x_i-1 + 4x_i+ x_i+1)/6

Точки b₃ - b₀ расписывают так же, но вместо x подставляют у. Между P_i и P_i+1 точки а и b не меняются. Если после последней точки указать первую точку, то система замкнет контур.

Достоинства В-сплайна: между точками коэффициенты постоянны; локальное изменение не влечет за собой вычисление заново всего сплайна. Недостатки: могут возникать проблемы при аппроксимации прямой, имеющей разрывы вторых производных (например, сопряжения прямой линии и дуги окружности); с точки зрения эстетики не всегда приемлемы, так как кривизна поверхности, сконструированной с помощью сплайнов, изменяется иногда неравномерно, что приводит к искажениям (например, причудливые искажения предметов, отраженных от кузова автомобиля).

Следствия

1. Кривые отходят от точек, точки усредняют свое влияние:
   x_i: x(0) = a₀ = (x_i-1 + 4x_i + x_i+1)/6
   x_i+1: x(1) = a₃ + a₂ + a₁ + a₀ = (x_i + 4x_i+1 + x_i+2)/6

   

2. Изменение одной вершины ведет к изменению только четырех соседних отрезков (рис. 14.4).

   

3. Геометрическая интерпретация В-сплайна: так как сумма коэффициентов равна единице, а коэффициенты положительны, то мы получаем средневзвешенную точку для четырех соседей, то есть первоначальный отрезок будет находиться внутри выпуклой сплайновой оболочки. Формула расчета: 1/6х_i-1 + 2/3x_i + 1/6x_i+1 = 2/3x_i + 1/3 * [1/2(x_i-1 + x_i+1)]

   

4. Кратность вершины усиливает ее притяжение. В острые углы линия не успевает забегать. В этом случае увеличивают кратность вершины. Порядок сплайна влияет на конфигурацию — увеличение порядка ведет к большему спрямлению (см. рис. 14.6).