Лекция 06.
Модель в виде фильтра Каллмана

Каллманом была доказана теорема о том, что любой динамический сигнал может быть представлен в виде:

Y_i = A₁ · X_i + A₂ · X_i – 1 + … + B₁ · Y_i – 1 + B₂ · Y_i – 2 + … + C.

Рис. 6.1. Графическое представление фильтра Каллмана на схемах

Идея фильтра Каллмана заключается в том, что выход системы в i-ый момент времени определяется входным сигналом, его предысторией и предысторией самого состояния системы.

Чем больше имеется членов ряда, то есть чем больше переменных Y учитывается в записи модели, тем глубже память системы. Заметим, что наличие члена Y_i – 1 в модели динамической системы соответствует наличию первой производной, Y_i – 2 — второй производной и т. д.

Допустим, известны следующие экспериментальные данные: состояния сигналов X_i и Y_i в n временных точках (табл. 6.1).

Поскольку для каждой экспериментальной точки X_i надо указать ее соседей, задаваемых рядом, то удобно отсчеты представить в расширенной таблице, используемой для расчета (см. табл. 6.2).

Находим ошибку между значением экспериментально снятой точки и теоретическим ее значением (гипотезой):

E_m = Y_m – A₁ · X_m – A₂ · X_m – 1 – … – B₁ · Y_m – 1 – B₂ · Y_m – 2 – … – C.

Суммарная ошибка F (сумма берется по всем экспериментальным точкам) должна быть минимизирована относительно определяемых переменных A₁, A₂, …, B₁, B₂, …, C:

После взятия частных производных от F по A₁, A₂, …, B₁, B₂, …, C, приравнивания их к нулю и составления системы уравнений получается линейная множественная регрессионная модель, из которой определяются неизвестные коэффициенты A₁, A₂, …, B₁, B₂, …, C модели.

Поскольку коэффициенты модели определены, построим реализацию (см. рис. 6.2), имитирующую поведение системы, описанной фильтром Каллмана.

Рис. 6.2. Вариант технической реализации фильтра Каллмана

«Блок задержки» в представленной реализации необходим для того, чтобы сдвинуть сигнал на такт и получить соседний отсчет для следующей переменной ряда модели. В зависимости от среды реализации блок задержки можно организовать разными способами.

Например, в случае реализации блока задержки в среде моделирования Stratum-2000, первый способ может быть основан на перезаписи информации из одной переменной (ячейки) в другую, на что требуется один такт. Таким образом, можно организовать задержку сигнала на любое число тактов. Например, задержка сигнала X относительно Y будет составлять 3 такта, если выполнить следующую последовательность операций: A1 := X; A2 := A1; Y := A2.

Во втором способе задержка организуется при помощи массива: на каждом такте нужно, чтобы цифры были перемещены в соседние ячейки.

На рис. 6.3 приведена схема настройки (автоматического нахождения коэффициентов).

Рис. 6.3. Схема автоматической настройки коэффициентов модели «на ходу»

На рис. 6.4 приведена схема проверки фильтра Каллмана.

Рис. 6.4. Схема проверки работы модели фильтра Каллмана