Лекция 03.
Нелинейные регрессионные модели

Полиномиальная множественная регрессионная модель

Рис. 3.1. Обозначение двумерной модели черного ящика на схемах

Если черный ящик имеет, например, два входа, а зависимость выхода от входов напоминает квадратичную, то целесообразно выбрать такую гипотезу:

Y = A₀ + A₁ · X₁ + A₂ · X₂ + A₃ · X₁ · X₂ + A₄ · X₁ · X₁ + A₅ · X₂ · X₂.

Обозначим: Z₁ = X₁ · X₂; Z₂ = X₁ · X₁; Z₃ = X₂ · X₂ и подставим эти выражения в предыдущую формулу:

Y = A₀ + A₁ · X₁ + A₂ · X₂ + A₃ · Z₁ + A₄ · Z₂ + A₅ · Z₃.

Таким образом, данная задача сведена к линейной множественной модели. А модель черного ящика теперь выглядит так, как показано на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Преобразованная модель черного ящика

Мультипликативная регрессионная модель

Рис. 3.3. Обозначение модели многомерного черного ящика на схемах

Y = A₀ · X₁^A₁ · X₂^A₂ · … · X_m^A_m.

Прологарифмируем левую и правую части данного уравнения:

ln(Y) = ln(A₀) + A₁ · ln(X₁) + A₂ · ln(X₂) + … + A_m · ln(X_m).

Обозначим:

W = ln(Y), B₀ = ln(A₀), Z₁ = ln(X₁), Z₂ = ln(X₂), …, Z_m = ln(X_m).

Получим:

W = B₀ + A₁ · Z₁ + A₂ · Z₂ + … + A_m · Z_m.

То есть вновь осуществлен переход к линейной множественной модели.

Обратная регрессионная модель

Рис. 3.4. Обозначение модели многомерного черного ящика на схемах

Y = k/(A₀ + A₁X₁ + … + A_mX_m).

Заменим: W = 1/Y, a_i = A_i/k. И перейдем к линейной множественной модели:

W = a₀ + a₁ · X₁ + … + a_m · X_m.

Экспоненциальная модель

Рис. 3.5. Обозначение модели многомерного черного ящика на схемах

Y = e^{B₀ + B₁X₁ + B₂X₂ + … + B_mX_m}.

Прологарифмируем левую и правую части уравнения:

ln(Y) = B₀ + B₁ · X₁ + B₂ · X₂ + … + B_m · X_m.

Выполним замену W = ln(Y) и получим:

W = B₀ + B₁ · X₁ + B₂ · X₂ + … + B_m · X_m.

Далее пользуемся выражением для линейной множественной модели.