Лекция 05.
Динамические регрессионные модели,
заданные в виде передаточной функции

Построим регрессионную модель динамической системы на примере. Зададим модель в виде передаточной функции (см. рис. 5.1).

Рис. 5.1. Модель черного ящика в виде передаточной функции

Примерный вид динамических сигналов на входе и на выходе показан на рис. 5.2. Ограничимся временем рассмотрения сигналов, равным T.

Рис. 5.2. Возможный вид зависимости входного сигнала X от времени t и зависимости выходного сигнала Y от t для случая с непрерывным временем

После дискретизации, связанной с обработкой информации на цифровых машинах, эти сигналы будут выглядеть так, как показано на рис. 5.3. Обратите внимание на то, что отдельные отсчеты отстоят друг от друга на расстоянии Δt. Важно, что отсчеты стоят достаточно часто. Всего этих отсчетов — n, то есть T = n · Δt,

Рис. 5.3. Возможный вид зависимости входного сигнала X от времени t и зависимости выходного сигнала Y от t для случая с дискретным временем

Допустим, что зависимости, представленные на рис. 5.2 и рис. 5.3, описываются передаточной функцией следующего вида (заметим, что, как и в лекции 02, вид зависимости выдвигается гипотетически и гипотеза должна быть, в конце концов, подтверждена или опровергнута):

Заменяя значок «p» на «d/dt» (обращаем ваше внимание, что такую замену можно производить только для случая нулевых начальных условий: X(0) = 0 и Y(0) = 0) и учитывая, что передаточная функция — это, по определению, отношение выхода к входу, то есть W = Y/X, получаем дифференциальное уравнение 2-го порядка:

Дважды проинтегрируем это выражение и получим для некоторого произвольного момента времени t:

Коэффициенты A₁, A₂, A₃, A₄ требуется определить. Для этого выразим уравнение в разностном виде через суммы:

где n — число экспериментальных точек. Заметим, что мы заменили интегралы и непрерывное течение времени — на суммы и дискретное представление времени. Чтобы вычислить суммы и двойные суммы экспериментально заданных зависимостей x и y, воспользуемся для удобства табл. 5.1 (чтобы излишне не загромождать таблицу, мы не стали дописывать в суммах Δt_i и Δτ_j).

Таблица 5.1. Таблица исходных данных и вспомогательных расчетов

i Xi Yi 1 X1 Y1 X1 Y1 X1 Y1 2 X2 Y2 X1 + X2 Y1 + Y2 2X1 + X2 2Y1 + Y2 3 X3 Y3 X1 + X2 + X3 Y1 + Y2 + Y3 3X1 + 2X2 + X3 3Y1 + 2Y2 + Y3 … … … … … … … m Xm Ym X1 + X2 + … + Xm Y1 + Y2 + … + Ym mX1 + … + Xm mY1 + … + Ym … … … … … … … n Xn Yn X1 + X2 + … + Xn Y1 + Y2 + … + Yn nX1 + … + Xn nY1 + … + Yn

Ошибку в некоторой m-ой точке можно записать так:

Как и ранее, ошибка показывает, насколько отходит теоретическое значение Y_m от экспериментального значения.

Суммарная ошибка (вносимая всеми точками), которую надо минимизировать, будет:

Величина ошибки зависит от значений параметров A₁, A₂, A₃, A₄. Поэтому F является функцией от четырех переменных: F(A₁, A₂, A₃, A₄). Чтобы найти минимум функции F, доставляемый за счет параметров A₁, A₂, A₃, A₄, надо взять частные производные F по каждому из параметров и приравнять каждую производную к нулю. В результате получаем систему линейных уравнений:

Получено четыре уравнения с четырьмя неизвестными A₁, A₂, A₃, A₄. Из решения системы уравнений вычисляем неизвестные коэффициенты и дополняем ими модель, где коэффициенты уже определены как числа:

Задача определения коэффициентов модели решена. Разумеется, как и ранее, необходимо сравнить получаемое из этой модели решение Y теоретическое с Y, заданным экспериментально, и вычислить ошибку F. Далее проверить ее значение по критерию — допустимо ли значение вычисленной ошибки, или гипотезу о виде модели требуется сменить на более точную.

Считая что коэффициенты модели теперь нам известны, построим для заданного примера реализацию, имитирующую поведение системы, описанной передаточной функцией. Для этого воспользуемся уже однажды полученной формулой:

или

Реализация модели представлена на рис. 5.4.

Рис. 5.4. Техническая реализация передаточного звена после определения коэффициентов регрессионной модели

При переходе от интеграла к численному суммированию мы воспользовались методом прямоугольников. Разбив площадь под кривой y на ряд прямоугольников одинаковой ширины Δt (см. рис. 5.5), получаем, что площадь i-го прямоугольника равна y_i · Δt, а S — сумма площадей всех n прямоугольников — будет приблизительно равна площади под кривой (интегралу от функции y). Очевидно, что приближение тем точнее, чем меньше значение Δt.

Рис. 5.5. Применение метода прямоугольников для численного вычисления интегралов