Лекция 04.
Динамические системы

На предыдущих лекциях мы рассматривали статические модели, то есть случай, когда один эксперимент не зависит от другого. Можно сказать, что система не обладала памятью. То есть, в какой бы момент времени мы ни измеряли значение выходной величины, при одинаковом значении входного сигнала результат был один и тот же. Если каждый раз значение на выходе, при одном и том же входном значении, разное, то есть зависит от того, в какой последовательности подавались входные значения, то мы имеем дело с динамической системой.

Динамические системы, в отличие от статических, помнят свое прошлое состояние, то есть обладают памятью. Поэтому в записи модели динамических систем присутствует производная, связывающая прошлое состояние системы с настоящим. Чем большей памятью обладает система, тем больше состояний из прошлого влияют на настоящее, тем большая степень старшей производной используется в записи модели. В данной лекции рассматриваются динамические системы.

Задача 1. На входе и выходе черного ящика (рис. 4.1) имеются зависимости параметров X и Y от времени t. Задача состоит в том, чтобы адекватно определить черный ящик.

Рис. 4.1. Черный ящик, содержащий динамическую систему. Условное обозначение

Графики зависимостей X(t) и Y(t) могут быть самыми разными, например, такими, как показано на рис. 4.2.

Рис. 4.2. Временные зависимости — входной и выходной сигналы

Поскольку моделирование систем подразумевает численные расчеты на компьютере, то аналоговый сигнал переводят в дискретный вид. Для этого с определенной частотой исходный сигнал дискретизируют, как показано на рис. 4.3.

Рис. 4.3. Дискретизированный временной сигнал

По этим данным строят таблицу отсчетов (см. табл. 4.1, где Δt = 0.1).

Совокупность значений переменной в таблице, упорядоченных во времени, часто называют динамическим рядом. Естественно, часть информации при такой операции теряется. Чем меньше расстояние между отсчетами, чем больше частота дискретизации, тем меньше потери информации. Частоту дискретизации принимают такой, чтобы не потерять высокочастотные составляющие в сигнале, отдельные пики (см. также «Лекция 08. Модель динамической системы в виде Фурье представления (модель объекта)»).

Любая динамическая система характеризуется рядом параметров. Обычно (чаще всего) параметрами называют коэффициенты при производных (первой, второй и т. д.) в записи модели. Чем большая степень старшей производной присутствует в записи модели, тем больший порядок динамической системы, тем глубже ее память, и тем больше коэффициентов (параметров) надо определить, чтобы идентифицировать систему.

Как определить параметры динамической системы? Сначала нужно оценить порядок динамической системы: он совпадает со степенью наибольшей из производных Y по отношению к t. Допустим, что на вход системы, до этого находившейся в нулевых начальных условиях, подали единичный сигнал X(t), как показано на рис. 4.4.

Рис. 4.4. Входной и выходной сигнал, типичный для системы первого порядка

Поясним смысл графика. При нулевых начальных условиях, если входной сигнал отсутствует, выходной сигнал равен нулю, и говорят, что система находится в покое. Если подать на вход единичный (пробный) сигнал и удерживать его на входе достаточно долго, то система на выходе попытается подчиниться ему, начнет отклоняться от нулевого состояния. Ожидается, что система на выходе должна дойти до значения kx, то есть увеличить сигнал x в k раз (k — коэффициент усиления входного сигнала). Но, как видно, происходит это не сразу, а с некоторой задержкой, сигнал на выходе нарастает постепенно, инерционно. Насколько инерционно реагирует система, зависит от параметра T. Система достигнет значения kx на выходе и будет держать этот сигнал, пока держится на входе единичный сигнал. Переход от нуля до kx происходит во времени. Переход — процесс динамический, то есть в сигнале присутствует изменение, которое описывается производной, и выход оказывается меньше входа на некоторую величину f:

y = kx – f(dy/dt).

Когда система достигнет на выходе значения равного kx, то изменений не будет, значение производной станет равной нулю. y = kx.

y = kx — частный случай инерционного звена.

Если на выходе будет наблюдаться экспоненциальный сигнал, то система будет называться системой первого порядка (или звеном первого порядка). Для ее описания достаточно одной производной (а в решении модели будет присутствовать один интеграл):

У такой системы два параметра — T и k.

Заметим, что один интеграл у линейных динамических систем всегда «порождает» одну экспоненту, двойной интеграл — сумму двух экспонент, и так далее.

Чтобы определить, является ли кривая экспонентой, в каждой ее точке проводится касательная до пересечения с линией установившегося уровня (на рис. 4.4 это линия y(t) = k); в случае, если кривая является экспонентой, величина T в любой точке будет постоянной.

Определить T, используя график, можно еще так. Проведите линию, параллельную оси t на уровне 0.95k. Из точки, где эта линия пересечет экспоненту, опустите перпендикуляр на ось t. Отрезок от 0 до точки пересечения перпендикуляра с осью t будет равен 3T.

T характеризует инерционность системы (память). При малой величине T система слабо зависит от предыстории и вход мгновенно заставляет измениться выход. При большом значении T система медленно реагирует на входной сигнал, а при очень большом значении T система выдает неизменный выходной сигнал, практически не реагируя на входные воздействия.

Коэффициент k характеризует способность системы к усилению (при k < 1 — к ослаблению) уровня входного сигнала. Чтобы определить коэффициент k на графике, достаточно дождаться успокоения сигнала на выходе системы и вычислить отношение уровня выходного сигнала к уровню входного. Математически это означает, что все слагаемые, содержащие производные, равны нулю (система успокоилась, движения нет), а оставшееся слагаемое Y = k · X определяет значение k.

Звено первого порядка

Звено первого порядка обладает двумя параметрами: инерционностью T и коэффициентом усиления k = Y(t = ∞)/X.

Чем больше производных учитывается в записи модели, тем со звеном большего порядка мы имеем дело, тем больше коэффициентов при производных следует определить.

Введем понятие передаточной функции как модели динамической системы. По определению передаточная функция — это отношение выхода ко входу:

W = Y/X.

Передаточная функция звена первого порядка имеет вид:

W = k/(Tp + 1),

где «p» — символ дифференцирования, тождественно равный «d/dt». Символ «p» также называется алгебраизованным оператором дифференцирования. Тогда, используя определение передаточной функции, имеем:

Y/X = k/(Tp + 1).

Далее получим:

(Tp + 1) · Y = k · X

или

T · dY/dt + Y = k · X

или

T · ΔY/Δt + Y = k · X.

В разностном виде уравнение можно записать как

T · (Y_i + 1 – Y_i) + Y_i · Δt = k · X_i · Δt.

Или, выразив настоящее через прошедшее:

Y_i + 1 = A · X_i + B · Y_i.

Здесь A = k · Δt/T и B = 1 – Δt/T — весовые коэффициенты. A указывает на вес компоненты X, определяющей влияние внешнего мира на систему, B указывает на вес компоненты Y, определяющей память системы, влияние на ее поведение истории.

В частности, если B = 0, то Y_i + 1 = А · X_i, и мы имеем дело с безынерционной системой Y = k · X, мгновенно реагирующей на входной сигнал и увеличивающей его в k раз.

Если коэффициент B = 0.5, то есть 1 – Δt/T = 0.5 или Δt/T = 0.5, то получаем, что коэффициент A = k · Δt/T = k · 0.5 и, следовательно, Y_i + 1 = 0.5 · k · X_i + 0.5 · Y_i. При постоянном (единичном) входном сигнале X будет получен график, как на рис. 4.5.

Рис. 4.5. Реакция звена первого порядка на единичный входной сигнал для дискретного случая

Экспонента, изображенная на графике, при большом n (в пределе n = ∞) стремится к значению входного (единичного) сигнала X, умноженного на коэффициент усиления k, что подтверждается расчетом:

Y_n + 1 = 0.5 · k · X_n + 0.5 · Y_n = 0.5 · k · X_n + 0.5 · (0.5 · k · X_n – 1 + 0.5 · Y_n – 1) =
= … = (0.5¹ + 0.5² + … + 0.5^n + 1) · k · X₀ + 0.5^n + 1 · Y₀ = 1 · k · X₀.

Напомним, что выражение (0.5¹ + 0.5² + … + 0.5^n + 1) является геометрической прогрессией, сумма которой при n = ∞ равна 1. А стоящее при Y₀ выражение 0.5^n + 1 обращается в 0 при n = ∞.

Если еще усилить влияние прошлого (B = 1), то система начнет интегрировать саму себя (выход подан на вход системы), добавляя все время входной сигнал, что соответствует экспоненциальному неограниченному росту выходного сигнала: Y_i + 1 = А · X_i + Y_i. По смыслу это соответствует положительной обратной связи. При B = –1 имеем модель: Y_i + 1 = А · X_i – Y_i, по смыслу соответствующую отрицательной обратной связи. При определении модели требуется найти неизвестные коэффициенты k и T.

Звено второго порядка (колебательное звено)

Такие звенья описываются дифференциальным уравнением вида:

Если на вход звена подать единичную функцию Хэвисайда от времени 1[t], при нулевых начальных условиях системы, то реакция на выходе будет называться переходной функцией (или переходной характеристикой), которую часто обозначают как h(t). Сигнал 1[t] — это, в некотором смысле, эталонный испытательный сигнал. Существуют и другие эталонные испытательные сигналы. Например, бесконечный импульс нулевой длины (дельта-функция Дирака), гармонический сигнал, периодические прямоугольные импульсы.

Преобразуем по Лапласу это уравнение:

a₀ · p² · Y(p) + a₁ · p · Y(p) + a₂ · Y(p) = b · U(p)

или, иначе:

(a₀ · p² + a₁ · p + a₂) · Y(p) = b · U(p).

Определим передаточную функцию звена:

Если записать уравнение без входного воздействия (нулевые входные воздействия U = 0) и сократить Y, то есть: T²p² + 2ξTp + 1 = 0, то такое уравнение будет называться характеристическим, поскольку характеризует исключительно внутренние свойства звена. Обратите внимание, что в записи звена содержатся три параметра:

В зависимости от величины ξ звенья второго порядка классифицируются по видам:

• ξ = 0 — консервативное звено второго порядка;
• 0 < ξ < 1 — колебательное звено второго порядка;
• ξ ≥ 1 — апериодическое звено второго порядка.

Апериодическое звено 2-го порядка (ξ ≥ 1)

Характеристическое уравнение звена следующее:

T²p² + 2ξTp + 1 = 0.

И оно имеет действительные отрицательные корни:

Данное звено можно представить в виде последовательно соединенных звеньев с различными постоянными времени:

Tогда при T₁ > T₂ переходная характеристика звена имеет вид:

То есть в решении присутствуют затухающие экспоненты. Типичное поведение звена с такими параметрами показано на рис. 4.6.

Рис. 4.6. Реакция апериодического звена на единичный входной сигнал

В частном случае, когда ξ = 1, оба корня будут одинаковыми, отрицательными:

Колебательное звено 2-го порядка (0 < ξ < 1)

Характеристическое уравнение звена следующее:

T²p² + 2ξTp + 1 = 0.

Корни разные, комплексно-сопряженные, с отрицательной вещественной частью:

, где a = –ξ/T, b = sqrt(1 – ξ²)/T.

Так как корни мнимые, то в поведении звена присутствует колебательная составляющая. Именно за эту особенность поведения звено получило название колебательного (см. рис. 4.7 и рис. 4.8).

Рис. 4.7. Реакция колебательного звена на входной единичный сигнал (ξ = 0.5)

Рис. 4.8. Реакция колебательного звена на входной единичный сигнал (ξ = 0.2)

Из графиков видно, что с ростом ξ колебательность звена уменьшается, исчезая при ξ ≥ 1

Переходная функция звена имеет вид:

где

При малых ξ значение A приближается к 1, а значение φ — к 90°. По физическому смыслу ω₀ представляет собой собственную частоту колебаний.

Консервативное звено 2-го порядка (ξ = 0)

Характеристическое уравнение звена следующее:

T²p² + 1 = 0.

Корни одинаковые, комплексно-сопряженные, с нулевой вещественной частью:

Так как корни чисто мнимые, то поведением звена являются незатухающие колебания (ξ = 0), см. рис. 4.9.

Рис. 4.9. Реакция колебательного звена на входной единичный сигнал (ξ = 0)

Переходная функция звена имеет вид: h(t) = k · (1 – cos(t/T)).

Из графика экспериментальным путем можно определить единственный параметр T = T₀/(2 · π).