Лекция 08.
Модель динамической системы в виде
Фурье представления (модель объекта)

Пусть имеется входной динамический сигнал X(t) и объект F, преобразующий этот сигнал в выходной Y(t) (см. рис. 8.1). Если объект описывается дифференциальными уравнениями, то таким преобразованием является интегрирование входного сигнала и вычисление Y(t). Интегрирование, как было ранее показано, — операция, требующая значительных вычислительных ресурсов и имеющая значительную погрешность при реализации на цифровых машинах.

Рис. 8.1. Схема моделирования динамического объекта при переходе из временной области представления в частотную

Если перейти от описания входного сигнала во временной области к описанию в частотной области (см. рис. 8.1), а от дифференциальных уравнений перейти к частотной характеристике объекта, — то есть, фактически, заменить сигнал на частотную модель сигнала, а объект на частотную модель объекта, — то с вычислительной точки зрения процесс преобразования сигнала упростится. Конечно, полученный результат тоже будет частотной моделью выходного сигнала, которую для получения окончательного ответа придется сконвертировать во временную область Y(t). Процесс такой конвертации из частотной области во временную и обратно называется преобразованием Фурье (есть и другие преобразования). Для тех объектов, для которых известна их модель в частотной области, такой подход достаточно просто реализуется на компьютере и позволяет достичь любой наперед заданной точности.

Модель объекта в частотном виде называется передаточной функцией или АЧХ (амплитудно-частотной характеристикой). Объекты, для которых известны АЧХ, обычно называют типовыми звеньями (усилительное звено, апериодическое, колебательное и т. д.). Пусть, для примера, характеристика объекта в частотной области следующая (см. рис. 8.2).

Рис. 8.2. АЧХ (возможный вид)

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) показывает, насколько пропускается объектом на выход соответствующая гармоника. Значение k_i характеризует коэффициент усилeния гармонического сигнала на определенной частоте ω_i.

Моделирование прохождения сигнала через объект в этом виде заключается в умножении коэффициента A_i гармоники с частотой ω_i входного сигнала X(t) на коэффициент усиления k_i при той же гармонике с частотой ω_i в АЧХ: A_i^* = A_i(ω_i) · k_i(ω_i). (Для коэффициента B преобразование аналогично.) В результате получается коэффициент A_i^* выходной гармоники данной частоты ω_i. Процедура выполняется для всех частот, представленных во входном сигнале и АЧХ. После получения спектра выходного сигнала можно восстановить сигнал как временную зависимость с помощью формулы обратного преобразования Фурье.

Заметим главное: моделирование прохождения сигнала через динамический объект свелось к операции умножения двух переменных, точнее, к операции поэлементного умножения вектора одних переменных на вектор других переменных.

Схема преобразования показана на рис. 8.3.

Рис. 8.3. Схема процедуры преобразования сигнала при использовании метода Фурье

Если бы временной сигнал проходил через звено, которое во временной области представлено дифференциальным уравнением, то пришлось бы его интегрировать, что, конечно, приводит к погрешностям результата. В частотной области достаточно перемножить значения коэффициентов ряда Фурье сигнала и звена при одинаковых частотах. Очевидно, что достоинством метода является замена дифференциальных уравнений модели на алгебраические. Разумеется, данный подход может быть использован только для объектов, у которых известен вид передаточной функции. (Кстати, для неизвестных случаев АЧХ может быть получена численным разложением в ряд.)

В процессе моделирования набора объектов для преобразования сигнала (например, протяженных трактов радиоэлектронных устройств) иногда приходится применять прямое и обратное преобразование Фурье неоднократно. На практике последовательные блоки часто называют каскадами.

Пусть мы имеем радио-электронное устройство (РЭУ), состоящее из 5 блоков (см. рис. 8.4). Блоки 1, 2, 4, 5 — линейные и представлены соответствующими известными АЧХ; блок 3 — нелинейный, поэтому АЧХ для него неизвестна. Примером линейного блока может служить апериодическое звено, колебательное звено и т. д. (см. Лекцию 05. Динамические регрессионные модели, заданные в виде передаточной функции). Примером нелинейного блока может служить устройство ограничения сигнала (срез) по амплитуде.

Как видно из рис. 8.4, сначала входной сигнал X(t) прямым преобразованием Фурье переводится в частотную область и проходит в виде спектра через АЧХ 1 и 2 линейного блока, затем обратным преобразованием Фурье сигнал после 2 блока переводится во временную область. Проходим нелинейный блок 3 во временном представлении. Результат работы блока 3 снова преобразуем прямым преобразованием Фурье в частотную область и проходим через АЧХ блоков 4 и 5. В конце полученный спектр преобразуется с помощью обратного преобразования Фурье во временную область, — вид сигнала, Z(t), является результатом моделирования.

Рис. 8.4. Пример моделирования тракта, содержащего нелинейные блоки, с использованием метода Фурье

Метод, который мы рассмотрели, является одним из самых быстродействующих. Это связано с заменой операций интегрирования и дифференцирования, встречающихся в моделях динамических звеньев, на операции сложения и умножения при переходе в частотную область. Такая процедура обеспечивает точность и быстродействие модели.

Для метода важно, с какой частотой вы дискретизируете сигнал при разложении в ряд Фурье. Если частота дискретизации мала, то есть отсчеты в сигнале следуют редко, с большими интервалами, то часть сигнала остается потерянной, так как между отсчетами может оказаться резко возросший и опавший пик, информация о котором пропадет. То есть говорят, что малая частота дискретизации срезает высокие частоты в сигнале. (Пик — это и есть высокочастотная составляющая, которая может быть потеряна).

По теореме Котельникова, чтобы не потерять соответствующую гармонику, требуется дискретизировать сигнал с частотой не менее чем в 2 раза большей, чем самая высокая частота из представленных в аналоговом сигнале:

2W_max ≤ W_дискр.,

где W_дискр. = 1/Δt_дискр. — частота дискретизации, W_max — максимальная частота, присутствующая в сигнале.