Практика 15. Марковские процессы

Задание 1 (марковские процессы с непрерывным временем и дискретными состояниями)

Смоделируйте с точностью 80% поведение животного (станка, транспорта, робота и т.п.).

Наблюдая за животным, определим экспериментально, в каких состояниях и как долго оно находится в каждом из них.

Например, кушает, гуляет, спит, играет. Начертим марковскую сеть с состояниями и зададим интенсивность перехода переходов между ними.

Рисунок – Граф марковского процесса поведения животного (пример)

Начертите четыре линейки – шкалы времени - для каждого состояния. Выберите масштаб изображения и разметьте шкалы.

Задайтесь произвольно начальным состоянием животного. Например, «спит».

Используя ГСЧ с помощью трех случайных чисел r1, r2, r3 определите по формуле «расстояние между двумя случайными событиями» времена перехода из состояния «спит» в каждое из возможных других состояний, используя заданные интенсивности переходов из таблицы:

T1 = –1/1 • Ln(r1)

T2 = –1/0.2 • Ln(r2)

T3 = –1/0.3 • Ln(r3)

На линейке состояния «спит» отложите от нуля три интервала Т1, Т2, Т3. В зависимости от того, какой переход совершится раньше (min{T1,T2,T3}), определите момент перехода и новое состояние животного. Переведите животное на новую линейку, соответственно новому определенному состоянию.

Например, животное перешло на линейку «ест».

Используя ГСЧ с помощью двух случайных чисел r4, r5 определите по формуле «расстояние между двумя случайными событиями» времена перехода из состояния «ест» в каждое из возможных других состояний, используя заданные интенсивности переходов из таблицы:

T4 = –1/0.8 • Ln(r1)

T5 = –1/0.4 • Ln(r2)

На линейке состояния «ест» отложите от момента поступления животного на линейку два интервала Т4, Т5. В зависимости от того, какой переход совершится раньше min {T4,T5}, определите момент перехода и новое состояние животного. Переведите животное на новую линейку, соответственно новому определенному состоянию.

Продолжите моделирование аналогичным образом далее.

Используя построенную диаграмму, запишите получившуюся марковскую цепь:

S_спит -> (T1) -> S_ест -> (T2) -> S_спит -> (T3) -> S_гуляет -> ….

Подпишите между состояниями время перехода (временной интервал нахождения в состоянии).

По выписанным значениям времени вычислите среднюю долю времени в течении суток, которое животное проводит в каждом из состояний. (Например, сколько времени в течении суток животное спит?)

Определите момент, когда можно закончить моделирование. Приведите график изменения среднего времени нахождения в каждом состоянии от времени моделирования, укажите момент вхождения графика в трубку точности.

Сколько раз в сутки животное в среднем меняет свое состояние?

Задание 2 (марковские процессы с дискретным временем и дискретными состояниями)

Команды А и В играют в волейбол. Игра состоит из не более 5 партий. Выигрывает команда, которая победит в трех партиях, то есть игра останавливается при счете 3:0, 3:1, 3:2.

Для победы в партии надо набрать не менее 15 очков, но с обязательной разницей не менее двух очков в счете партии.

Чтобы выиграть одно очко, команде надо выиграть две подачи подряд. И за каждую следующую выигранную подачу (до перехода подачи) дается еще одно очко.

При проигрыше командой своей подачи право следующей подачи передается другой команде. (Если подавала команда В, а выиграла команда А, то очко не присуждается никому, следующая подача команды А. Если после подачи В выиграла команда В, то очко присуждается команде В).

В четных партиях первой подает команда А, в нечетных – команда В.

Частота выигрыша подачи по статистике в серии более ранних игр задана в таблице.

Представить модель марковского процесса в виде графа. Смоделировать одну игру, узнать результат игры: счет и время игры (1 подача – 10 секунд). Представить протокол игры в виде таблицы подач и текущего счета.

Обменяться результатами игр в группе. Выяснить средний счет серии игр. Какова вероятность 4-х партий за игру?