Практика 1. Формула Ньютона

Допустим, что нам нужно решить «Задачу о разрезаниях», то есть надо предсказать, сколько потребуется разрезов в виде прямых линий, чтобы разделить фигуру на заданное число кусков (для примера достаточно, чтобы фигура была выпуклой).

Попробуем решить эту задачу вручную.

Рисунок - Задача о разрезании фигуры на заданное число кусков

Из рисунка видно, что при 0 разрезах образуется 1 кусок, при 1 разрезе образуется 2 куска, при двух — 4, при трёх — 7, при четырёх — 11. Можете ли вы сейчас сказать наперёд, сколько потребуется разрезов для образования, например, 821 куска? По-моему, нет! Почему вы затрудняетесь? — Вам неизвестна закономерность K = f(P), где K — количество кусков, P — количество разрезов. Как обнаружить закономерность?

Составим таблицу, связывающую известные нам числа кусков и разрезов.

Таблица 1.2. Таблица соответствия разрезов и получающихся фрагментов фигуры

Пока закономерность не ясна. Поэтому рассмотрим разности между отдельными экспериментами, посмотрим, чем отличается результат одного эксперимента от другого. Поняв разницу, мы найдём способ перехода от одного результата к другому, то есть закон, связывающий K и P.

Таблица 1.3. Таблица соответствия разрезов и получающихся фрагментов фигуры

Уже кое-какая закономерность проявилась, не правда ли?

Вычислим вторые разности.

Таблица 1.4. Таблица соответствия разрезов и получающихся фрагментов фигуры

Очевидно, что далее продолжать процедуру вычисления разностей смысла нет.

Теперь все просто. Функция f называется производящей функцией. Если она линейна, то первые разности равны между собой. Если она квадратичная, то вторые разности равны между собой. И так далее.

Функция f есть частный случай формулы Ньютона:

Коэффициенты a, b, c, d, e для нашей квадратичной функции f находятся в первых ячейках строк экспериментальной таблицы 1.5.

Таблица 1.5. Таблица соответствия разрезов и получающихся фрагментов фигуры

Итак, закономерность есть, и она такова:

K = a + b • p/ + c • p • (p – 1)/2 = 1 + p + p • (p – 1)/2 = 0.5 • p² + 0.5 • p + 1.

Теперь, когда закономерность определена, можно решить обратную задачу и ответить на поставленный вопрос: сколько надо выполнить разрезов, чтобы получить 821 кусок? K = 821, K = 0.5 • p² + 0.5 • p + 1, p = ?

Решаем квадратное уравнение 821 = 0.5 • p² + 0.5 • p + 1, находим корни: p = 40.

Составленная по ряду данных модель дала возможность находить ответы на любые вопросы, связанные с ней. Произошло это за счет установления причинно-следственной связи между переменными К и р.

Задание 1

Галилео Галилей пытался найти связь между пространством и временем. Для этого он бросал предметы с башни в городе Пиза. Во время эксперимента он фиксировал путь, пройденный брошенным телом, и время его полета.

Рисунок – Опыты Галилея

Получилась такая экспериментальная таблица

Найдите связь между пространством S и временем t для нашей планеты. Обратите внимание на то, что эта формула напрямую связывает пространство и время без посредников.

Примечание. Галилей, наблюдая за качающейся от ветра люстрой в соборе (находится напротив падающей башни в Пизе), открыл еще одну связь между пространством и временем. Первый закон Галилея описывал прямолинейное движение. Второй – вращательное. В природе существует всего два вида движения: прямолинейное и вращательное (колебательное). Все остальные – есть комбинации этих двух движений.

Задание 2

У куба в зависимости от размерности пространства (N=0,1,2,3,4, …) можно экспериментально определить и указать количество вершин В (нульмерных объектов), ребер Р (одномерных объектов), граней Г (двухмерных объектов), тел Т (трехмерных объектов) и так далее (любых К-мерных объектов).

Рисунок – Одномерный, двухмерный, трехмерный, четырехмерный куб (в различных ракурсах)

Используя таблицу экспериментальных данных, найдите зависимость В(N), Р(N), Г(N), Т(N), …, К(N).

Обобщите полученные формулы в одну алгебраическую конструкцию.

Обратите внимание. Вам придется учесть, что Вы будете иметь дело с производящей формулой 2 порядка сложности.

Важное примечание

1. Неверные данные приводят к неверным законам. Поэтому надо использовать только проверенные данные. Чистота данных важнее их количества.

2. Если данные в отдельной области ведут себя, например, линейно, то это не означает, что они будут вести себя также и в другой области. Например, законы Ньютона верны, пока скорости тел небольшие. Однако, если скорости близки к скорости света в законе существенной становится поправка из общей теории относительности: √(1-v²/c²). А график функции, отражающей закон графически, начинает изгибаться, становится нелинейным. Просто при значениях v<<c этот сомножитель близок к 1, поправка несущественна. И вообще. Не верьте в линейные законы, всякому росту есть предел. Все в итоге нелинейно.

3. Через любое количество конечных точек можно провести бесконечное количество кривых. Экспериментально снять удается только конечное число точек.

Пример.

Как вы считаете, увидев последовательность чисел: 0,1,2,3,… какое будет следующе число?

Логика подсказывает, что «4», и напрашивается закон f₁=n.

Однако, я могу предложить такой закон: f₂=n+n*(n-1)*(n-2)*(n-3)/24.

Можете проверить с калькулятором в руках, этот закон также генерирует последовательность 0,1,2,3,…, но дальнейшее ее продолжение удивляет …5,10,21, … .

Просто f₂ сложнее, чем f₁, f₂ содержит f₁ внутри себя. И с увеличением и разнообразием экспериментов выясняется, что мир сложнее, чем мы его себе представляли.

Поставьте несколько точек на график. Проведите различные кривые, которые проходят через эти точки. Таких кривых можно построить бесконечно много.

Чтобы определиться с такими ситуациями, в науке используют принцип Оккама: «Не вводи сущностей без надобности». Скажем так, большая часть точности достигается простыми законами, сложные поправки дают меньший вклад в точность ответа. В дальнейшем, при осознанной необходимости добавляют: «от простого к сложному». Сначала испытай простое, если точности не хватает, вводи новые сущности и связи.

4. Получение такого мощного инструмента как формула Ньютона порождает эйфорию в руках исследователя: достаточно просто наблюдать, измерять все вокруг и подставлять в формулу и тебе откроются все законы.

Однако может ли научный метод обманывать?

- Да!

Проведем эксперименты:

1. Водка + вода = алкогольный напиток

2. Джин + вода = алкогольный напиток

3. Коньяк + вода = алкогольный напиток

4. Виски + вода = алкогольный напиток

Из экспериментов следует вывод, что

«вода, добавленная к любой жидкости, это алкоголь».

Однако, мы знаем, что это не так, хотя нами и был применен научный метод. Ошибочный вывод получился из-за того, что количество экспериментов конечно, а вывод касается ВСЕХ (бесконечное число) жидкостей. Просто в выборку не попали мазут, молоко, яблочный сок и т.д.. Разнообразие примеров недостаточно.

Имеет смысл запомнить, что 1 опровергающий теорию контрпример лучше, чем 1000 подтверждающих примеров.

«Лучше принять палку за змею, чем змею за палку». Это то, что называется modus tollens.