Аффинное проецирование. Стереографическая и специальные перспективные проекции

Проблема наглядного изображения на плоскости объемных тел очень стара. Еще первобытные люди оставили на стенах пещер объемные изображения своих сородичей. Большинство древних рисунков, в том числе приналежащих эпохе Древнего Египта и Средневековья, показывают человека и животных или сбоку, или в анфас; иногда одна часть тела изображена в профиль, а другая фронтально. Очевидно, легче было постичь ортогональные виды предметов, в которых линия, силуэт более выразительны и определенны, чем более реалистические, но сложные ракурсы.

Особый интерес к достоверности рисунка и правильности в передаче объемных предметов и сцен возникает в эпоху Возрождения. Альбрехт Дюрер, Леонардо да Винчи и другие художники много сделали для осмысления процесса зрительного восприятия окружающего нас объемного мира и плоской картины, моделирующей этот мир. Искали связь между восприятием, искусством и геометрией, изобретали приспособления, позволяющие правильно построить рисунок.

Был выработан основной подход к построению наглядных ображений: картина рассматривалась как своеобразное «окно», сквозь которое зритель видит пространство. «Заменяя» пространство на картину, надо «заменить» лучи света, идущие в глаз наблюдателя от натурных предметов, на лучи, идущие от точек картины. Своего рода «идеал» — когда направления лучей после такой замены не изменяются.

Конечно, в процессе восприятия как картины, так и натуры в ход вступает множество дополнительных факторов — аккомодация зрачка (его фокусировка, настройка на разглядывание близких или далеких предметов), конвергенция двух глаз (непараллельность зрительных осей глаз при рассматривании близких предметов), стереоскопический эффект, существующий благодаря наличию двух глаз и позволяющий нам более объемно, полно видеть мир, однако «выдающий» плоскостность картинной поверхности, и т. д.

В свое время для получения рисунков применялась камера-обскура, представлявшая собой непрозрачный ящик с маленьким отверстием в передней стенке и экраном в виде матового стекла вместо задней стенки, или даже специальную комнату с небольшим отверстием в ставнях, через которое в солнечный день на противоположную стену отбрасывалось хотя и перевернутое, но реалистическое изображение окружающего пейзажа.

В перспективных изображениях более удаленные предметы изображаются в меньших масштабах, параллельные прямые в общем случае на изображении непараллельны. В итоге геометрия изображения оказывается достаточно сложной; построить такое изображение не очень просто, а по готовому изображению трудно определить размеры тех или иных частей объекта. По этой причине в проектировании, конструировании продолжают широко использовать ортогональные виды объектов — вид спереди, сверху, сбоку и т. д., а также аксонометрические проекции — по своей геометрии более простые, чем перспективные.

Во всех описанных выше случаях картина представляется плоской (картинная плоскость). Изображение на нее переносится с точек натуры прямыми лучами. Эти проецирующие лучи либо все параллельны — и тогда мы имеем ортогональный вид или аксонометрическую проекцию, — либо проходят через точку (глаз наблюдателя, или центр проецирования) и образуют перспективную (нейтральную) проекцию.

Когда мы хотим показать широкую панораму или окружающее нас пространство, плоская картина становится неэффективной. Можно представить себе зрителя окруженным цилиндрической или сферической (полусферической) поверхностью, на которую нанесено изображение. Если знать геометрические правила, на плоскости можно нарисовать изображение, которое в виде развертки представит собой проекцию, затем картину можно изогнуть нужным образом, и тогда изображение не будет искажено.

Заметим, что прямые линии, на развертке изогнувшиеся, при правильном рассматривании представятся наблюдателю прямыми. Цилиндрическую или коническую поверхность легко развернуть или свернуть, а вот со сферической такого не сделаешь. Вместо этого можно применить вогнутый, сферический экран, на который с плоской пленки или пластинки проецируется изображение. Чтобы на экране изображение воспринималось правильным, на пленке оно должно быть построено по специальным алгоритмам. Такие разнообразные проекции называются «специальными».

Так как сфера не развертываетcя, то приходится перепроецировать изображение со сферической поверхности на плоскость. Если точки пространства проецируются на поверхность сферы лучами, проходящими через ее центр, то перепроецировать их отображения на плоскость можно множеством способов. Среди них выделяется стереографический способ: со сферы на плоскость точки перепроецируются прямолинейными лучами, проходящими через полюс сферы, противоположный тому, в котором сфера касается плоскости. Положительное свойство этой проекции — ее конморфность. Это значит, что углы между пересекающимися линями на сфере и их отображениями на плоскости равны, а если брать небольшие части изображения, то и отношение длин отрезков будет тем же. А это значит, что при различных углах отклонения лучей от главного проецирующего луча небольшие части объекта будут изображены достоверно (правда, в зависимости от направления лучей будет меняться их масштаб).