Практика 9. Генераторы случайных чисел

Для моделирования и изучения стохастических систем нам понадобятся случайные числа.

Простейшим физическим генератором случайных чисел является монета.

Задание 1

Подбрасывая ее вверх и ловя, можно убедиться, что она будет падать на ладонь то орлом, то решкой.

Обозначим выпадение орла – цифрой 0, а выпадение решки – цифрой 1. Тогда последовательность бросков монеты даст нам последовательность двоичных цифр. Например, такую: 00101101001010101001011000 … .

Подбрасывая монету, составьте таблицу для своего эксперимента с ней. Пример заполнения таблицы.

Постройте график зависимости V(N) в тетради.

Обратите внимание, что в начале графика будут наблюдаться скачкИ, которые по мере увеличения N будут успокаиваться.

Рано или поздно график совсем успокоится и его незначительные колебания будут происходить около значения V=0.5.

Почему значение 0.5 является предельным для графика - ясно. Экспериментальная частота выпадения орла стремится к теоретической вероятности выпадения орла: 50% орел и 50% решка.

Так гласит центральная предельная теорема (ЦПТ), которая регулирует отношения макро и микро мира. Случайность стремится к детерминизму, частота – к вероятности, а эксперимент - к теории. При увеличении количества экспериментов (N-> ∞)!

Проверьте этот факт экспериментально на монете.

Насколько приблизится частота к вероятности нам укажет разность между ними. В данном случае нам известно заранее теоретическое значение вероятности: 0.5. Зададимся точностью эксперимента Е=0.1.

Проведите две горизонтальные линии, выше теоретического уровня 0.5 и ниже уровня 0.5 на величину Е.

Получится коридор ошибки [P-E, P+E].

Посмотрите! Ваша экспериментальная линия V(N) рано или поздно войдет в коридор ошибки (успокоится) и никогда уже из него не выйдет. Это работает ЦПТ. (Если, конечно, процесс является случайным). Отметьте на оси N, в какой момент это произошло. N=?

Получен ответ на вопрос, сколько надо сделать экспериментов N, чтобы результат оказался неслучайным.

Эта величина называется критическим числом экспериментов: Nкр.

Разумеется, у Ваших коллег значение Nкр будет немного другим.

Найдите среднее число Nкр в Вашей группе, как среднее арифметическое. (Данная процедура называется усреднением по ансамблю). Это число будет более точным.

1. В силу того что инженеры работают с техникой, от которой часто зависят жизни людей, количество ансамблей увеличивают, чтобы получить более точное число Nкр.

2. Реально для формулирования ответа на вопрос, поставленный перед моделью, используют для надежности количество экспериментов, равное 2*Nкр. С запасом.

3. Если студентов в группе было достаточно велико, то у 68% из них их личное Nкр будет меньше, чем общее среднее в группе Nкр. Это утверждение выполняется тем точнее, чем больше количество элементов в ансамбле.

Вывод: имея дело со случайным процессом, обязательно экспериментально определите Nкр и проведите 2Nкр экспериментов перед тем, как делать выводы. Ваши теоретические выводы, будущие проектные решения – среднее множества экспериментов (реальных или модельных).

Задание 2

Людям удобнее использовать десятичные числа. Для этого переводят двоичную последовательность, полученную в предыдущем опыте, в серию десятичных чисел.

Придумайте способ перевода двоичных последовательностей в десятичные числа. Используя последовательность, полученную в предыдущем опыте, преобразуйте ее в серию десятичных чисел. Занесите числа в тетрадь. Укажите схему способа получения чисел. Получите не менее 7 двухзначных чисел. Если двоичных цифр не хватило, продолжите эксперимент с монетой.

Задание 3

Преобразуйте только что полученные десятичные числа в числа, распределенные в интервале от -10 до 20. Запишите их в тетрадь.

Найдите математическое ожидание M и дисперсию D полученных десятичных чисел. Сравните значения M, D с их теоретическими значениями для данного диапазона

Задание 4

Методом серединных квадратов сгенерируйте еще 10 чисел в диапазоне от 0 до 1.

Запишите их в тетрадь. Найдите математическое ожидание M и дисперсию D полученных десятичных чисел.

Задание 5

Используя таблицу случайных цифр из учебника «Моделирование систем» по адресу: http://www.stratum.ac.ru/education/textbooks/modelir/lection22-01.html, составьте из них 10 десятичных случайных чисел с двумя разрядами после запятой, равномерно распределенных в интервале от 0 до 1. Приведите в тетради полученные числа, их математическое ожидание и дисперсию. Нарисуйте их на числовой оси в виде точек в промежутке от 0 до 1. Обозначьте вертикальными штрихами положение M, M-D и M+D.