Практика 3. Регрессионная модель динамической системы

Задание 1

Предположим, что мы имеем дело с динамической системой.

В результате эксперимента был снят следующий отклик динамической системы, находящейся при нулевых начальных условиях, на входной единичный сигнал.

Нарисуйте графики X(t) и Y(t) в осях координат XOt и YOt, то есть установите на график точки из таблицы экспериментов и соедините их плавной кривой линией. Оцените поведение системы, предложите вид гипотезы, описывающей данную систему, – уравнение.

Рисунок – График одного из вариантов поведения системы второго порядка

По графику видно, что система обладает колебательными свойствами. Это означает, что ее порядок не может быть меньше 2. Простейшей гипотезой о динамической системе второго порядка является уравнение:

A*Y’’+R*Y’+M*Y = K*X, где A, R, M, K – коэффициенты, значения которых надо определить, линейного дифференциального уравнения при нулевых начальных условиях, а Y(t) задана таблично, X(t)=1.

Переформулируйте уравнение, избавившись от необходимости определения одного коэффициента. (Один коэффициент такого уравнения произвольно можно задать равным 1, от этого суть уравнения не изменится).

Проинтегрируйте дважды выбранное дифференциальное уравнение, превратив его в интегральное уравнение второго порядка.

Замените интегралы их дискретными аналогами - суммами. ∫xdt ≈ ∑x_i*Δt. Не забудьте ввести индекс i для переменных из-за замены аналоговой величины x(t) на дискретную x_i. На рисунке показана простейшая схема дискретизации аналогового сигнала методом прямоугольников.

Рисунок – Замена непрерывной кривой ее дискретным аналогом методом прямоугольников

Учтите, что при двойном интегрировании вместо ∫∫x(t) с интегралами от 0 до промежуточного τ у внутреннего интеграла и от 0 до текущего момента времени t у внешнего интеграла, где τ<t, в ряде случаев появляется двойная сумма ∑(∑(хj*Δt))*Δt с индексами j (у внутренней суммы от 0 до i) и i (у внешней суммы от 0 до m).

Из таблицы видно, что расстояние между двумя временными отсчетами Δt=1 (частный случай).

Следует также учесть, что при формировании выражения расчета суммарной ошибки F будет необходимо третий раз просуммировать все N значений заданных нам экспериментальных точек по индексу m от 0 до N, где N=10.

Схема расчета двойных сумм показана на рисунке:

Далее следует минимизировать функцию F от трех переменных, приравняв производные от F по этим коэффициентам нулю. Упростите уравнения, приведя подобные и записав систему в традиционном матричном виде. Решите систему линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными коэффициентами методом Крамера. Определив значения коэффициентов, установите их в изначальное дифференциальное уравнение. Запишите для него начальные условия и x(t)=1.

Решите полученное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с известными коэффициентами и начальными условиями любым известным вам методом из курса высшей математики, например, операторным методом.

Найдите решение уравнения, найдя функцию Y(t)=f(Х(t)), то есть формулу Y(t)=… в явном виде.

Начертите расчетный график полученной функции Y(t) на тех же осях, где изображена экспериментальная кривая, рассчитав значения Y в точках t=0,1,2, … ,10.

Найдите суммарную ошибку F=∑E², где сумма ошибок берется по 10 точкам для t от 1 до 10 шагом 1.

Найдите относительную ошибку σ, приведенную на одну точку.

Удобно вторую часть расчетной (расчет ошибок, проверка) таблицы иметь в следующем виде.

Таблица - Расчет параметров гипотезы методом наименьших квадратов

Постройте параллельно расчетной кривой Y^T еще две кривые на расстоянии ±δ от нее. Получится коридор точности. Определите, сколько экспериментальных точек попадает в коридор точности ±δ. Определите, сколько точек попадает в коридор точности удвоенной ширины ±2δ.

Если попавших в коридор точности точек не менее 68% и в удвоенный коридор точности не менее 95%, то гипотеза принимается.

Сделайте и запишите вывод.

Подсказка. Некоторые контрольные числа для самопроверки: -5191.7, -39979.9, -47091.3, 4.69, -0.13, 0.62, -1.99, 26.08, 1.70.

Примечание. Метод аппроксимации дифференциальных уравнений интегрированием с последующей дискретизацией можно упростить, если замену осуществлять методом Рудольфа Калмана (замена производных конечными разностями).