Лекция 28.
Поток случайных событий

В предыдущих лекциях мы научились имитировать наступление случайных событий. То есть мы можем разыграть — какое из возможных событий наступит и в каком количестве. Чтобы это определить, надо знать статистические характеристики появления событий, например, такой величиной может быть вероятность появления события, или распределение вероятностей разных событий, если типов этих событий бесконечно много.

Но часто еще важно знать, когда конкретно наступит то или иное событие во времени.

Когда событий много и они следуют друг за другом, то они образуют поток. Заметим, что события при этом должны быть однородными, то есть похожими чем-то друг на друга. Например, появление водителей на АЗС, желающих заправить свой автомобиль. То есть, однородные события образуют некий ряд. При этом считается, что статистическая характеристика этого явления (интенсивность потока событий) задана. Интенсивность потока событий указывает, сколько в среднем происходит таких событий за единицу времени. Но когда именно произойдет каждое конкретное событие надо определить методами моделирования. Важно, что, когда мы сгенерируем, например, за 200 часов 1000 событий, их количество будет равно примерно величине средней интенсивности появления событий 1000/200 = 5 событий в час, что является статистической величиной, характеризующей этот поток в целом.

Интенсивность потока в некотором смысле является математическим ожиданием количества событий в единицу времени. Но реально может так оказаться, что в один час появится 4 события, в другой — 6, хотя в среднем получается 5 событий в час, поэтому одной величины для характеристики потока недостаточно. Второй величиной, характеризующей насколько велик разброс событий относительно математического ожидания, является, как и ранее, дисперсия. Собственно именно эта величина определяет случайность появления события, слабую предсказуемость момента его появления. Про эту величину мы расскажем в следующей лекции.

Итак.

Поток событий — это последовательность однородных событий, наступающих одно за другим в случайные промежутки времени. На оси времени эти события выглядят как показано на рис. 28.1.

Рис. 28.1. Поток случайных событий

Примером потока событий могут служить последовательность моментов касания взлетной полосы самолетами, прилетающими в аэропорт.

Интенсивность потока λ — это среднее число событий в единицу времени. Интенсивность потока можно рассчитать экспериментально по формуле: λ = N/T_н, где N — число событий, произошедших за время наблюдения T_н.

Если интервал между событиями τ_j равен константе или определен какой-либо формулой в виде: t_j = f(t_j – 1), то поток называется детерминированным. Иначе поток называется случайным.

Случайные потоки бывают:

• ординарные: вероятность одновременного появления двух и более событий равна нулю;
• стационарные: частота появления событий λ(t) = const(t);
• без последействия: вероятность появления случайного события не зависит от момента совершения предыдущих событий.

Пуассоновский поток

За эталон потока в моделировании принято брать пуассоновский поток.

Пуассоновский поток — это ординарный поток без последействия.

Как ранее было указано, вероятность того, что за интервал времени (t₀, t₀ + τ) произойдет m событий, определяется из закона Пуассона:

где a — параметр Пуассона.

Если λ(t) = const(t), то это стационарный поток Пуассона (простейший). В этом случае a = λ · t. Если λ = var(t), то это нестационарный поток Пуассона.

Для простейшего потока вероятность появления m событий за время τ равна:

Вероятность непоявления (то есть ни одного, m = 0) события за время τ равна:

Рис. 28.2 иллюстрирует зависимость P₀ от времени. Очевидно, что чем больше время наблюдения, тем вероятность непоявления ни одного события меньше. Кроме того, чем более значение λ, тем круче идет график, то есть быстрее убывает вероятность. Это соответствует тому, что если интенсивность появления событий велика, то вероятность непоявления события быстро уменьшается со временем наблюдения.

Рис. 28.2. График вероятности непоявления ни одного события во времени

Вероятность появления хотя бы одного события (P_ХБ1С) вычисляется так:

так как P_ХБ1С + P₀ = 1 (либо появится хотя бы одно событие, либо не появится ни одного, — другого не дано).

Из графика на рис. 28.3 видно, что вероятность появления хотя бы одного события стремится со временем к единице, то есть при соответствующем длительном наблюдении события таковое обязательно рано или поздно произойдет. Чем дольше мы наблюдаем за событием (чем более t), тем больше вероятность того, что событие произойдет — график функции монотонно возрастает.

Чем больше интенсивность появления события (чем больше λ), тем быстрее наступает это событие, и тем быстрее функция стремится к единице. На графике параметр λ представлен крутизной линии (наклон касательной).

Рис. 28.3. График вероятности появления хотя бы одного события со временем

Если увеличивать λ, то при наблюдении за событием в течение одного и того же времени τ, вероятность наступления события возрастает (см. рис. 28.4). Очевидно, что график исходит из 0, так как если время наблюдения бесконечно мало, то вероятность того, что событие произойдет за это время, ничтожна. И наоборот, если время наблюдения бесконечно велико, то событие обязательно произойдет хотя бы один раз, значит, график стремится к значению вероятности равной 1.

Рис. 28.4. Влияние величины интенсивности потока на вероятность появления события в течение заданного интервала времени τ

Изучая закон, можно определить, что: m_x = 1/λ, σ = 1/λ, то есть для простейшего потока m_x = σ. Равенство математического ожидания среднеквадратичному отклонению означает, что данный поток — поток без последействия. Дисперсия (точнее, среднеквадратичное отклонение) такого потока велика. Физически это означает, что время появления события (расстояние между событиями) плохо предсказуемо, случайно, находится в интервале m_x – σ < τ_j < m_x + σ. Хотя ясно, что в среднем оно примерно равно: τ_j = m_x = T_н/N. Событие может появиться в любой момент времени, но в пределах разброса этого момента τ_j относительно m_x на [–σ; +σ] (величину последействия). На рис. 28.5 показаны возможные положения события 2 относительно оси времени при заданном σ. В данном случае говорят, что первое событие не влияет на второе, второе на третье и так далее, то есть последействие отсутствует.

Рис. 28.5. Иллюстрация влияния величины σ на положение события на временной шкале

По смыслу P равно r (см. лекцию 23. Моделирование случайного события. Моделирование полной группы несовместных событий), поэтому, выражая τ из формулы (*), окончательно для определения интервалов между двумя случайными событиями имеем:

τ = –1/λ · Ln(r),

где r — равномерно распределенное от 0 до 1 случайное число, которое берут из ГСЧ, τ — интервал между случайными событиями (случайная величина τ_j).

Пример 1. Рассмотрим поток изделий, приходящих на технологическую операцию. Изделия приходят случайным образом — в среднем восемь штук за сутки (интенсивность потока λ = 8/24 [ед/час]). Необходимо промоделировать этот процесс в течение T_н = 100 часов. m = 1/λ = 24/8 = 3, то есть в среднем одна деталь за три часа. Заметим, что σ = 3. На рис. 28.6 представлен алгоритм, генерирующий поток случайных событий.

Рис. 28.6. Алгоритм, генерирующий поток случайных событий в заданным λ

На рис. 28.7 показан результат работы алгоритма — моменты времени, когда детали приходили на операцию. Как видно, всего за период T_н = 100 производственный узел обработал N = 33 изделия. Если запустить алгоритм снова, то N может оказаться равным, например, 34, 35 или 32. Но в среднем, за K прогонов алгоритма N будет равно 33.33… Если посчитать расстояния между событиями t_сi и моментами времени, определяемыми как 3 · i, то в среднем величина будет равна σ = 3.

Рис. 28.7. Иллюстрация работы алгоритма, генерирующего поток случайных событий

Моделирование неординарных потоков событий

Если известно, что поток не является ординарным, то необходимо моделировать кроме момента возникновения события еще и число событий, которое могло появиться в этот момент. Например, вагоны на железнодорожную станцию прибывают в составе поезда в случайные моменты времени (ординарный поток поездов). Но при этом в составе поезда может быть разное (случайное) количество вагонов. В этом случае о потоке вагонов говорят как о потоке неординарных событий.

Допустим, что M_k = 10, σ = 4 (то есть, в среднем в 68 случаях из 100 приходит от 6 до 14 вагонов в составе поезда) и их число распределено по нормальному закону. В место, отмеченное (*) в предыдущем алгоритме (см. рис. 28.6), нужно вставить фрагмент, показанный на рис. 28.8.

Рис. 28.8. Фрагмент алгоритма, реализующий неординарный поток случайных событий

Пример 2. Очень полезным в производстве является решение следующей задачи. Каково среднее время суточного простоя оборудования технологического узла, если узел обрабатывает каждое изделие случайное время, заданное интенсивностью потока случайных событий λ₂? При этом экспериментально установлено, что привозят изделия на обработку тоже в случайные моменты времени, заданные потоком λ₁ партиями по 8 штук, причем размер партии колеблется случайно по нормальному закону с m = 8, σ = 2 (см. лекцию 25). До начала моделирования T = 0 на складе изделий не было. Необходимо промоделировать этот процесс в течение T_н = 100 часов.

На рис. 28.9 представлен алгоритм, генерирующий случайным образом поток прихода партий изделий на обработку и поток случайных событий — выхода партий изделий с обработки.

Рис. 28.9. Алгоритм имитации обработки партий изделий с учетом случайности происходящих событий

На рис. 28.10 показан результат работы алгоритма — моменты времени, когда детали приходили на операцию, и моменты времени, когда детали покидали операцию. На третьей линии видно, сколько деталей стояло в очереди на обработку (лежало на складе узла) в разные моменты времени.

Рис. 28.10. Диаграмма, иллюстрирующая движение изделий через узел обработки

Отмечая для обрабатывающего узла времена, когда он простаивал в ожидании очередной детали (см. на рис. 28.10 участки времени, выделенные красной штриховкой), мы можем посчитать суммарное время простоев узла за все время наблюдения, а затем рассчитать среднее время простоя в течение суток. Для данной реализации это время вычисляется так:

T_пр.^ср. = 24 · (t₁^пр. + t₂^пр. + t₃^пр. + t₄^пр. + … + t_N^пр.)/T_н.

Задание 1. Меняя величину σ, установите зависимость T_пр.^ср.(σ). Задавая стоимость за простой узла 100 евро/час, установите годовые потери предприятия от нерегулярности в работе поставщиков. Предложите формулировку пункта договора предприятия с поставщиками «Величина штрафа за задержку поставки изделий».

Задание 2. Меняя величину начального заполнения склада, установите, как изменятся годовые потери предприятия от нерегулярности в работе поставщиков в зависимости от принятой на предприятии величины запасов.

Моделирование нестационарных потоков событий

В ряде случаев интенсивность потока может меняться со временем λ(t). Такой поток называется нестационарным. Например, среднее количество за час машин скорой помощи, покидающих станцию по вызовам населения большого города, в течение суток может быть различным. Известно, например, что наибольшее количество вызовов падает на интервалы с 23 до 01 часа ночи и с 05 до 07 утра, тогда как в остальные часы оно вдвое меньше (см. рис. 28.11).

Рис. 28.11. Диаграмма изменения интенсивности потока случайных событий со временем

В этом случае распределение λ(t) может быть задано либо графиком, либо формулой, либо таблицей. А в алгоритме, показанном на рис. 28.6, в место, помеченное (**), нужно будет вставить фрагмент, показанный на рис. 28.12.

Рис. 28.12. Фрагмент алгоритма, реализующий генерацию случайных событий в случае нестационарного потока