Часть I / Лекция 03. Аффинное проецирование

• Геометрия аффинная
• Аксонометрическая (прямоугольная) проекция
• Ортографическая проекция
• Ортогональная проекция
• Диметрическая проекция
• Изометрическая проекция
• Косоугольная проекция
• Проекция Кабине
• Проекция Кавалье
• Геометрия перспективная
• Перспективная проекция
• Одноточечная проекция
• Двухточечная проекция
• Трехточечная проекция

Аффинная геометрия является чертежным средством; в этой геометрии используется параллельное проецирование, которое осуществляется пучком параллельных прямых (см. рис. 3.1, слева). Детерминант матрицы преобразований в аффинной геометрии равен нулю. Геометрия перспективная является художественным средством, в ней отсутствуют параллельные линии и используется центральное проецирование, при котором все линии сходятся у горизонта в одну точку (см. рис. 3.1, справа); за счет того, что одна, две или три компоненты четвертого столбца матрицы преобразований не равны нулю, ее детерминант также не равен нулю.

Наиболее распространены аффинные двухмерные и трехмерные преобразования. Их основные геометрические свойства: прямые линии после преобразования остаются прямыми, параллельные — параллельными, плоскости остаются плоскостями и параллельные плоскости — параллельными. Вычерчивание трехмерных объектов, независимо от того на бумаге ли это происходит или на экране дисплея, осуществляется при помощи двухмерных проекций. В плоской проекции каждая точка предмета проецируется определенным образом на плоскость проекции, и ее образ называется точкой проекции. Если линии проекции, соединяющие точки предмета с соответствующими точками проекции, параллельны, то мы имеем плоскую параллельную проекцию. Если же линии проекции сходятся в одной общей точке, то получаемое изображение называется центральной проекцией, или перспективным изображением предмета.

Рассмотрим далее несколько видов аксонометрических проекций. Заметим, что среди них выделяются прямоугольные (ортогональные) проекции — те, у которых проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости изображения. Слова «аксонометрическая» и «прямоугольная» часто используют как синонимы.

Аксонометрическая ортографическая проекция

Смещает изображение по оси z на n единиц и проецирование происходит в плоскости z = 0:

Аксонометрическая ортогональнальная проекция

Проецирующие лучи перпендикулярны к плоскости изображения, и плоскость проекции совпадает с одной из координатных плоскостей.

Пример: выполним поворот куба (рис. 3.2, слева) относительно оси x на угол 90^o и спроецируем его на плоскость z = 0 (рис. 3.2, справа). Обратите внимание, что точки, которые после поворота на куба на 90^o будут лежать на проецирующих лучах (пары A и C, B и D и т. д.), после преобразования займут одинаковое положение (пары A^н и C^н, B^н и D^н и т. д.):

Запись в матричной форме:

Аксонометрическая диметрическая проекция

В этом случае были специально подобраны коэффициенты, дающие минимальные искажения какого-либо изображения:

Аксонометрическая изометрическая проекция

В общем смысле дает проекцию с изменением масштаба:

Надо заметить, что любая проекция имеет свои достоинства и недостатки (искажение размеров изображения по одной из осей, неодинаковость сокращения размеров по разным осям, заслонения точек друг другом), поэтому каждая из них используется там, где это более удобно: ортографическая — только для переноса и проецирования, ортогональная — для вращения и проецирования; при диметрической проекции изображение по оси y имеет натуральный размер, а по осям x и z оно одинаково сокращено (то есть на экране размер линии по x и по y уменьшен в А раз по отношению к натуральному размеру на объекте); при изометрической проекции изображение по трем осям одинаково сокращено.